Análisis Dimensional
Es bastante evidente que el análisis dimensional es una herramienta aplicable a muchas situaciones distintas, para encontrar muchos resultados diversos. Así, podemos utilizarlo de distintas formas para la misma situación para sacar distintas conclusiones. Es por esto que utilizaremos distintos análisis dimensionales para extraer distintas conclusiones de estos. En primer lugar utilizaremos las siguientes variables.
que representan la densidad del aire, rho, la velocidad del viento, U, el largo de las aspas, R, el ancho de las aspas, L, el torque aplicado por el generador, T, el ángulo de ataque de las aspas, theta, la viscosidad cinemática, mu, y la velocidad angular de la hélice, omega. Utilizamos rho, U y R como variables independientes y encontramos los pis necesarios.
donde Re es el número de Reynolds. Luego, por el teorema de los pis de Buckingham tendremos la siguiente relación.
Ahora haremos un segundo y un tercer análisis dimensional y posteriormente analizaremos los resultados obtenidos. En este caso utilizaremos las mismas variables independientes pero reemplazaremos una de las dependientes. Nuestras nuevas variables serán las siguientes.
Las variables que se mantienen siguen representando las mismas cantidades y la nueva variable introducida representa la fuerza de arrastre del viento sobre la hélice. Nuevamente encontramos los coeficientes adimensionales.
donde cD es el coeficiente de arrastre que presenta la hélice. Luego, por el teorema de los pis de Buckingham tendremos la siguiente relación.
En este caso utilizaremos las mismas variables independientes pero reemplazaremos una de las dependientes. Nuestras nuevas variables serán las siguientes.
Las variables que se mantienen siguen representando las mismas cantidades y la nueva variable introducida representa la potencia que genera la hélice. Nuevamente encontramos los coeficientes adimensionales.
Luego, por el teorema de los pis de Buckingham tendremos la siguiente relación.
Ahora, teniendo los tres análisis realizados procedemos a analizar los resultados. Es bastante claro por qué la mayoría de términos aparecen, de los cuáles dependen tanto la potencia como la velocidad angular que presenta la hélice, pero es importante entender el rol que juegan el número de Reynolds y el coeficiente de arrastre en estas expresiones. El número de Reynolds y el coeficiente de arrastre están íntimamente relacionados. Cuando el primero es pequeño, estos se comportan prácticamente como inversamente proporcionales, pero cuando es grande, el coeficiente de arrastre se aproxima a la unidad. El número de Reynolds es una cantidad que relaciona fuerzas dinámicas con fuerzas de cohesión. Éste es grande cuando el fluido se mueve a gran velocidad y las dimensiones del objeto analizado son grandes. En este régimen, la viscosidad se puede despreciar, ya que no puede compararse con las fuerzas del movimiento. Cuando el número de Reynolds es pequeño, significa que la viscosidad empieza a tomar más importancia, por lo que las fuerzas de cohesión dejan de ser despreciables y el fluido ya no se comporta como ideal. Es claro, entonces, como este puede jugar un papel importante en la determinación de las cantidades antes mencionadas. Por otra parte, el coeficiente de arrastre está muy relacionado a la fuerza de arrastre que se ejerce sobre el objeto. Si bien en la mayoría de los casos ésta no es tan deseable para un aerogenerador, ésta se relaciona directamente con la fuerza de sustentación y en la mayor parte de los casos el funcionamiento óptimo de la turbina depende tanto del coeficiente de arrastre como del coeficiente de sustentación.
Por estas razones queda bastante claro cómo influyen el número de Reynolds y el coeficiente de arrastre del objeto en este caso. Además, dado que uno depende del otro es evidente que podemos intercambiarlos en el análisis dimensional sin que estemos cometiendo un error.
Acerca de la potencia generada
Primero realizaremos un análisis en que despreciamos las irregularidades por la viscosidad del fluido. Esto puede resultar bastante correcto, ya que el número de Reynolds que presenta la situación es bastante alto. Consideremos entonces la siguiente situación en que se observa una aspa de nuestra hélice que está rotando con velocidad angular omega y recibe viento con velocidad U desde la izquierda.
Para simplificar el análisis escogeremos un sistema de referencia que se mueve con la aspa, por lo que ésta estará quieta, y la velocidad del viento será distinta. Esta situación la podemos observar en el siguiente diagrama. Además, definimos un volumen de control que se puede apreciar en el mismo diagrama, y encontramos el nuevo ángulo de incidencia, alpha, y la superficie por unidad de largo que presenta nuestro volumen de control.
Además, definimos un nuevo sistema de coordenadas que presenta el eje Y perpendicular al aspa y el eje X paralelo a ésta. En el siguiente diagrama dibujamos el nuevo sistema de coordenadas y representamos la velocidad del viento en el mismo.
Ahora utilizaremos la segunda ley de Newton (conservación de momentum) junto con el teorema de transporte de Reynolds en el eje Y para encontrar una expresión del torque que se ejerce sobre el eje por unidad de largo. Para esto definimos la fuerza de reacción que ejerce el aspa sobre el flujo como se muestra en el diagrama siguiente.
Ahora, utilizando las herramientas descritas anteriormente, llegamos a la siguiente expresión.
Ahora, además tenemos los valores de varias de estas expresiones que se listan a continuación.
Utilizando esto y la simetría de la situación podemos simplificar nuestra ecuación original a la siguiente expresión.
Sin embargo, para calcular el torque que se ejerce sobre el eje solo nos interesa la componente de la fuerza que se ejerce en el sentido en que se mueve el aspa, que será la siguiente fuerza, para una sección del aspa a una distancia r del eje.
y el torque ejercido sobre la misma sección con respecto al eje será el siguiente.
Ahora, para encontrar el torque que se ejerce sobre el aspa completa hay que integrar esta expresión en el largo R del aspa.
El torque total ejercido sobre el eje será el torque que se ejerce en un aspa, T, multiplicado por la cantidad de aspas, que en nuestro caso serán tres.
Luego para encontrar la velocidad angular de nuestra hélice, omega, tendremos que igualar este torque total al torque generado por el generador de energía eléctrica, resolver la integral planteada y por último despejar la velocidad angular de la ecuación. Es claro que esto es prácticamente imposible, por lo que esto se podría resolver a través de métodos numéricos o experimentalmente. Dado esto, podemos encontrar una aproximación para la velocidad angular máxima que puede alcanzar la hélice. Ésta se dará cuando el torque que ejerce el viento sobre la hélice sea nulo. Encontremos esta aproximación.
Para un punto dado en la hélice, el torque ejercido por el viento sobre este punto será nulo si la velocidad relativa del viento con respecto a este punto es paralela al aspa, como se ilustra en la siguiente imagen.
Está claro que en este caso el torque sobre el aspa en este punto será nulo. Es bastante fácil verificar que esto se da cuando se cumple la siguiente ecuación.
Además, cuando el ángulo de incidencia del viento es aún mayor, con respecto a nuestro sistema de referencia, el torque se dará en el sentido contrario al regular, es decir, se estará frenando (en este punto) al aspa. Para encontrar un equilibrio, es decir, que el torque en la totalidad del aspa sea nulo, se deben anular los torques en un sentido con los que van en el sentido contrario. Dado que el torque depende del radio y de la fuerza aplicada, mientras mayor sea el radio (para la misma fuerza) el torque será mayor, y aumentará de forma lineal. Dicho esto, a pesar de que nuestra expresión para el torque no se comporta exactamente igual, podemos aproximar nuestro punto intermedio entre torques en un sentido y en el otro en un punto que esté a dos tercios del radio máximo con respecto al eje. En este punto, dado que es el de transición, cuando la velocidad angular es máxima se hará nulo el torque, de lo que podemos encontrar fácilmente una expresión para la velocidad angular máxima. Ésta será la siguiente.
Queda claro de este extenso análisis que es una tarea muy compleja encontrar la velocidad angular que presentará la hélice sin conocer el torque y la potencia generada, propios del generador. Sin embargo, se extraen algunas importantes conclusiones, como que existe una velocidad máxima que presentará cualquier hélice, que depende, entre otros, de la velocidad del viento y del largo del aspa.
Dado que sin conocer la velocidad angular de la hélice no podemos conocer la potencia generada por el dínamo, lo más sensato será hacer pruebas experimentales para determinar tanto la velocidad angular de la hélice como la potencia generada por el aparato. Por otro lado, habiendo encontrado la velocidad angular a la que funciona la hélice y teniendo el torque ejercido por el dínamo sobre la turbina, será fácil encontrar la potencia generada a través de la siguiente fórmula.
Cabe notar que si se está utilizando la velocidad angular del eje de la turbina puede haber que utilizar un factor de corrección, dado que la velocidad angular de la hélice no será necesariamente igual a la del eje conectado al dínamo.
Acerca del ángulo de ataque escogido
Encontrar el ángulo de ataque óptimo para una hélice es una tarea ardua. Esto se debe a que hay que considerar muchos factores distintos. Entre los factores más importantes que se pueden considerar al respecto se encuentran el coeficiente de arrastre y el coeficiente de sustentación, que determinarán cuán eficiente es una turbina al convertir la energía del viento en energía mecánica utilizable. El coeficiente de sustentación, que en la mayoría de los casos es el más relevante, se comporta en cierto rango de ángulo de ataque como una función lineal de ésta. Sin embargo, después de éste tiene un máximo y una caída abrupta. Se podría pensar que este máximo será el ideal para encontrar el ángulo de ataque, pero este proceso es un tanto más complejo. [11]
Para algunos aparatos, como los aviones, para una velocidad del viento dada bastará con maximizar la razón entre coeficiente de sustentación y coeficiente de arrastre. No obstante, para los aerogeneradores el punto óptimo se encuentra entre esta razón óptima y el coeficiente de sustentación máximo alcanzable. [11]
Dado que encontrar este óptimo es un proceso tan engorroso y requeriría implementos con los que no contamos para modificar el ángulo de ataque de la hélice rápidamente, optamos por utilizar los resultados obtenidos por Thumthae y Chitsomboon. Estos resultados tienen que ser adaptados a consciencia para que se adapten a las dimensiones de nuestra turbina. Según Thumthae y Chitsomboon el ángulo óptimo para su hélice girando a 72 rpm y con una velocidad de viento de 10.5 m/s es de 10.26°. [11] Dado que las condiciones de viento y de velocidad angular se parecen bastante a las que presentará nuestro aparato, solo tenemos que hacer adaptaciones correspondientes al tamaño de las aspas. Dado que nuestras aspas serán bastante más pequeñas, éstas recibirán bastante menos torque del viento para el mismo ángulo, por lo que optamos por aumentar el ángulo. Sin embargo, al aumentar el ángulo de ataque se aumenta a la vez la fuerza de arrastre ejercida por el viento. Por esto se decide no aumentar el ángulo en demasía y se decide incluir las aspas al eje en un ángulo de 30°.
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